- Determina
cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.
- Coloca una F si la oración
es falsa y V si es verdadera.
- Argumenta
tu respuesta.
a. El conjunto de puntos en un plano formado por
una circunferencia y su interior es un conjunto convexo.
V La
definición de conjunto convexo determina que cualquier segmento trazado en el
interior de un plano se determina como tal, sea cerrado o no. En este caso la
circunferencia es una línea poligonal cerrada.
b. El conjunto formado por los puntos que se
encuentran entre dos líneas rectas incluyendo las rectas es un conjunto
convexo.
F Solo las líneas se determinan
como conjuntos convexos, para que los puntos entre estas sean parte del
conjunto, deben estar cerrados por lo menos con otra que las interseque
formando un triángulo.
c. Cualquier plano en el espacio E es un conjunto
Convexo.
F Todos los conjuntos convexos están
delimitados por la línea poligonal y esta es finita, los planos en el espacio E
no tienen límites.
d. La siguiente figura nos muestra un polígono
que junto con su interior forman un conjunto convexo.
V Es un polígono porque es un conjunto
cerrado de segmentos y los puntos en su interior también son parte del mismo.
e. La unión de dos conjuntos convexos es un
conjunto convexo.
F La definición de convexidad
marca que dados dos puntos (x,y) la recta trazada debe estar contenida en
ambos, por lo que no todas las figuras convexas unidas lo forman. La unión de
dos conjuntos se puede dará aún cuando no haya elementos y en este caso puntos
en común.
f.
Si
tenemos dos circunferencias que tienen a una recta tangente en común, entonces
podemos trazar un segmento de recta que una a los centros de ambas
circunferencias y sea perpendicular a la tangente.
V
Siempre y cuando la recta secante toque a ambas circunferencias en el único punto
en común entre estas, entonces la línea perpendicular deberá contener los dos centros de las
circunferencias sino también el punto en común.
g.
Un
polígono de cuatro lados correspondiente a un paralelogramo con un ángulo
interior recto, tiene en la suma de sus cuatro ángulos interiores un total de
270º
.F Si dicha figura geométrica es un
paralelogramo entonces tiene sus lados opuestos paralelos. Si uno de sus ángulos
interiores es recto, entonces involucra dos de sus lados y por lo tanto los
otros dos como son paralelos forman también un angulo recto. Por lo anterior
sabemos que es un cuadrado o un rectángulo y sus cuatro ángulos son rectos cuya
suma en total resulta 360°
h.
Todo
paralelogramo suma en sus ángulos internos 180º.
F Todos
los paralelogramos pueden dividirse en dos triángulos y por lo tanto cada uno
contiene 180° en su interior, los ángulos de los paralelogramos suman 360°.
i.
Un
hexágono o polígono de seis lados tiene 36 cuerdas.
F el mayor número de
cuerdas que se pueden obtener tomando como referencia los seis vértices de un
hexágono es 12
4. Realiza las siguientes demostraciones.
j.
Sea
una circunferencia C en un plano P. Demostrar que la longitud del diámetro de C
es 2r.
En
este caso los elementos que tenemos son una circunferencia, un punto centro de
la misma, su radio y su diámetro.
Se
debe de demostrar que el diámetro de dicha figura es el doble de su radio.
Toda
circunferencia tiene entre su punto central y cualquiera de sus puntos la misma
distancia.
El
radio de la circunferencia es la línea que está en el segmento del centro a
cualquier punto de la misma. Todos los radios de una circunferencia son
congruentes.
El
diámetro de una circunferencia es el segmento de dos puntos distintos de la
misma que pasa por su punto centro. Todos los diámetros son congruentes.
Si
del centro a un punto existe una distancia, entonces del centro a dos puntos
existe la misma distancia dos veces. Y por lo tanto es el doble.
QED
k.
Sea C
una circunferencia en el plano P. Si un radio r toca a la circunferencia en un
punto A de la circunferencia, por este punto pasa una recta tangente. Probar
que la recta tangente es perpendicular al radio r.
En este caso tenemos como elementos una
circunferencia, un punto en específico de la misma, una tangente en dicho
punto, y el radio que es el segmento del punto central al punto especificado de
la circunferencia.
Se debe demostrar que la recta tangente y el radio en
un punto específico de la circunferencia son líneas perpendiculares.
La tangente es la recta que toca a la circunferencia
en un punto específico.
Si se traza primero el radio, entonces este toca un
punto de la circunferencia.
Si la tangente pasa por ese punto entonces se formará
un ángulo recto en cada lado de la misma.
Si suponemos que la recta tangente no forma dicho
ángulo entonces no tocará el punto A.
Si el radio se inclina de tal manera que no forme ese
ángulo de 90° entonces dejará de tocar alguno de los puntos que se toman como
condición.
Las líneas trazadas son entonces perpendiculares.
QED
l.
Sea
la circunferencia C, el círculo interior contiene todos los puntos al interior
de la circunferencia. Si O es el punto central del círculo, entonces para
cualquier par de puntos A y B dentro del círculo demostrar que 
Para este caso
tenemos los siguientes elementos: una circunferencia, el círculo y el
diámetro que ya está definido como el doble del radio (2r).
Diametro
Por definición
tenemos que la circunferencia es la línea curva que rodea la figura y su distancia es igual desde
todos sus puntos hacia el centro.
El círculo es
el conjunto de puntos que se encuentran dentro de la circunferencia.
El diámetro
(2r) es la línea recta que se traza en dos puntos de la circunferencia y
pasa por el punto centro del círculo.
Por lo tanto
cualquier segmento
dentro der círculo es menor a (2r) puesto que no se extiende hasta tocar
alguno de los puntos de la circunferencia.
QED
m.
Sea C
una circunferencia. El diámetro D de C tiene una mediatriz. Demostrar que la
recta tangente que pasa por el punto de intersección de la mediatriz y la
circunferencia C es paralela a la recta que contiene al diámetro D
En este caso los elementos involucrados son: La
circunferencia, el diámetro, su mediatriz, y una recta tangente. .
Se debe demostrar que el diámetro es paralelo a la tangente
que toca a la circunferencia en su punto de intersección con la mediatriz del
diámetro.
El diámetro de la circunferencia se traza y su
mediatriz en el punto medio que sería el punto centro del círculo formando dos
ángulos rectos por ser perpendicular.
Si se traza una recta tangente que toque la circunferencia
en el punto de intersección con la mediatriz del diámetro, entonces debe ser
paralela pues al sufrir alguna inclinación ya no tocaría el punto antes
mencionado, por lo tanto esta tangente también es perpendicular y en
consecuencia paralela con el diámetro.
n.
Sea C
una circunferencia. En un punto A sobre la circunferencia pasan dos rectas, una
que contiene a uno de los diámetros de C y otra recta que es secante a C. Si
por este punto A pasa una recta tangente, demostrar que los ángulos formados
por la recta del diámetro, la secante y la tangente son complementarios.
Para la demostración de este caso tenemos la
circunferencia, un punto de referencia, una recta secante, una tangente y el
diámetro.
Se pretende demostrar que las tres
rectas tengan en común un punto de la circunferencia y formen dos ángulos
complementarios.
Se ha demostrado en los ejercicios anteriores que si
una secante toca a la circunferencia en el punto de otra recta interna a la
misma que pase por el centro, entonces serán líneas perpendiculares y por tanto
formarán un ángulo de 90°
Este caso contiene las dos rectas mencionadas para la
formación del ángulo recto, si en el vértice del mismo pasa una recta secante a
la circunferencia sin importar cual sea el otro punto de corte y por
consiguiente el ángulo con alguna de las dos rectas ya mencionadas, entonces se
formarán dos ángulos internos al de las perpendiculares a los cuales llamamos
complementarios.
QED
o.
Sea C
una circunferencia. Si una recta secante es paralela a una recta que contiene
al diámetro D. Demostrar que la mediatriz de D es mediatriz también de la
cuerda contenida en la recta secante.
Para este caso tenemos la participación de una
circunferencia, su diámetro, la mediatriz del diámetro una recta secante y la
cuerda de la circunferencia con los puntos en común de la secante.
El ejercicio consiste en demostrar que la mediatriz del
diámetro es también mediatriz de la cuerda.
Si trazamos uno de los diámetros de la
circunferencia y una secante paralela al diámetro, obtendremos los puntos de
referencia para una cuerda en el segmento de la misma secante.
El diámetro y la cuerda también serán
paralelos y la segunda será de menor longitud, ambos estarán en dos puntos de
la circunferencia.
Si trazamos la mediatriz del diámetro hacia
el lado donde se encuentra la cuerda, la intersecará también en su punto medio
y por lo tanto también será su mediatriz.
QED
