Actividad 2. Teoremas y propiedades

1.    Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.  2.    Coloca una F si la oración es falsa y V si es verdadera. 3.    Argumenta tu respuesta. a.    Sean los planos P1, P2 y P3 contenidos en E donde no se da el caso que sean paralelos entre ellos; entonces, la intersección entre ellos es una línea recta R. V   Para que los planos sean paralelos debe de existir un punto A que no esté contenido en común con los tres planos, por lo que hay por lo menos dos puntos en común entre estos y su intersección efectivamente es una recta. b.    Dadas tres rectas R1, R2 y R3 en un plano P. Si entre estas tres rectas dos de ellas son paralelas y la tercer recta corta oblicuamente a las dos que son paralelas, el punto en el que las interseca es el punto de intersección de las paralelas. F   Para que las primeras dos líneas descritas sean paralelas debe existir un punto A que no esté contenido en alguna de estas y la otra recta debe pasar por dicho punto, por lo que nunca existe un punto de intersección de las paralelas aún cuando otra línea las interseca. c.    Todas las rectas de un plano tienen un punto central. V   Los Puntos en una recta son infinitos y por tanto entre los dos puntos que delimitan cualquier recta siempre habrá otro que las divida en dos semirrectas y las haga congruentes entre sí. d.    Dos ángulos adyacentes, si son agudos, en algunos casos juntos pueden llegar a formar un ángulo recto. V  Los ángulos agudos son aquellos que miden menos de 90° y si son adyacentes significa que tienen el mismo vértice y un lado en común, Por lo tanto si la suma de la medida de sus ángulos da como resultado 90° la afirmación es verdadera. e.    Sean dos ángulos, los cuales son suplementarios, entonces la suma de ambos es de 180º. V    Los ángulos suplementarios se definen como aquellos que la suma en la medida de sus ángulos da como resultado 180°.    f.    Una línea recta R1 corta a R2 en un ángulo recto por su punto central, R1 se llama una recta perpendicular de R2. F   Una recta perpendicular a otra es aquella que solo cumple con la propiedad de cortarla en un ángulo de 90° en cualquiera de sus puntos, sin embargo cuando la interseca en su punto central recibe el nombre de recta mediatriz. g.   Los ángulos internos de un triángulo, son a su vez ángulos colaterales internos por pares. V   Cada recta que delimita el triángulo tiene en cada uno de sus extremos un vértice y por lo tanto un ángulo, los cuales son colaterales en cada uno de los lados. h.    Todos los ángulos alternos externos, si fueran adyacentes, entonces serían suplementarios. F    Para que exista un ángulo alterno ya su vez externo se debe de contar con dos rectas intersecadas por una tercera recta, sin embargo las primeras dos rectas pueden o no ser paralelas, al existir entonces ocho ángulos diferentes tenemos a los que son alternos externos pero la afirmación solo se cumple para aquellas que son paralelas intersecadas por otra, pues la medida de sus alternos en cada una de estas será tal que si fueran adyacentes sumarían los 180° requeridos para hacer la afirmación verdadera. Por lo tanto no todos los ángulos alternos externos la cumplen, sino solo aquellos que pertenecen a dos rectas paralelas intersecadas. i.    Las bisectrices de un triángulo rectángulo dividen a sus tres ángulos en pares de ángulos complementarios. F   Los triángulos rectángulos cuentan con sólo un ángulo recto y los otros dos son agudos de manera que la suma de sus ángulos es de 90°, por lo tanto solo la bisectriz del vértice cuyo ángulo es el recto lo divide en los respectivos ángulos de 45° que marca la definición. Las otras dos bisectrices dividen a los ángulos en medidas menores a 90° en su suma. 4.    Realiza las siguientes demostraciones j.      Sean los puntos A, B y C colineales. Si  no contiene al punto A, entonces dado el punto central D de  se cumple que  . Si el segmento  tiene como punto medio a D entonces los segmentos y Son congruentes y el cociente indicado de su suma es igual a la distancia de cualquiera de estos. Por lo tanto si la distancia entre A y D es el resultado de esa operación entonces el punto A esta contenido en el segmento  y se sitúa justo sobre B o sobre C lo que contradice la proposición inicial. Llegamos a la conclusión de que dicha hipótesis es falsa por mostrar una contradicción. QED. k.    Sean A, B, C, D y E puntos colineales tales que . Entonces, si  y ; determinar las medidas de . Para la demostración de esta proposición utilizaré un poco de álgebra pues en todos los segmentos está incluida la misma medida congruente con  . Dicha medida se encuentra en  , además de sumar una unidad para que el resultado final sea 75. Sustituiré esta medida por la variable x y tendré lo siguiente. x+x+1+2x+x=75 5x+1           =75 5x               =75-1 5x               =74 x                 =74/5 x                 =14.8 Por lo tanto la medida de los segmentos es la siguiente.     =      14.8     =     15.8     =     29.6     =     14.8                ______                  75 QED. l. Sean dos ángulos. Si ambos ángulos tienen al mismo ángulo como complementario, entonces ambos ángulos son congruentes. Si dos ángulos son complementarios entonces forman un ángulo recto. Si dos ángulos son complementarios entonces cada uno de estos mide 45°. Por lo tanto ambos tienen al mismo ángulo como complementario y son congruentes. QED m.  Sean dos ángulos opuestos, entonces la bisectriz de ambos ángulos está sobre la misma recta. En este caso la proposición nos da a conocer dos ángulos, los cuales tienen como característica que son opuestos y no se determina si son internos o externos, por lo tanto están situados en la intersección de dos rectas. Cualquiera de los pares de ángulos opuestos van a sumar 180° pues las dos rectas determinan esa medida y por definición, todos los ángulos opuestos son congruentes. Por lo tanto la bisectriz de dicho par de ángulos estará en una posición tal que trace una línea recta, pues de no ser así estará dividiéndolos en medidas diferentes y por ende no sería una bisectriz. QED n. Sea el triángulo definido por los puntos A, B y C. El segmento  se extiende por otro segmento , se forma así un ángulo  cuya bisectriz está dada por la recta que contiene al segmento de recta . Si los ángulos , entonces los segmentos  y  son paralelos. Para empezar con esta demostración definiré las propiedades der triángulo al que nos referimos y está dentro de los vértices ABC. La única referencia que tenemos es que . Por definición tenemos que si dos de sus ángulos son iguales, por lo menos dos de sus lados son congruentes y tenemos un equilátero o un isósceles. Ahora tenemos que el segmento  se extiende hasta el punto D sin definir la longitud de dicha extensión. Si trazamos la mediatriz del segmento  extendiéndola fuera del triángulo nos daremos cuenta que habrá tres ángulos adyacentes. Los dos ángulos colaterales que son los más pequeños son congruentes y su medida será también congruente con el . El ángulo que queda  está justo en medio de los otros y no importa su medida, su bisectriz es perpendicular a la mediatriz del segmento  y llega al punto E. Por lo anterior QED que  los segmentos  y  son paralelos pues ambos son perpendiculares a la mediatriz del segmento o.  Sea el paralelogramo en forma de romboide definido por los puntos A, B, C y D. Un segmento de recta  es una de las diagonales del romboide, entonces los ángulos de los vértices B y D son congruentes. Una de las características de esta figura es que tiene dos pares de lados iguales, paralelos entre sí. Si el segmento  as una de sus diagonales entonces lo divide en dos triángulos obtusángulos y los ángulos de los vértices A y C serán congruentes. Por lo tanto los otros ángulos restantes también serán congruentes y se puede notar trazando la mediana de cada triángulo formado en la división tomando como referencia el segmento . QED