miércoles, 28 de enero de 2015

Geometria actividad 3


  1. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. 

  1. Coloca una F si la oración es falsa y V si es verdadera.

  1. Argumenta tu respuesta.

a.    El conjunto de puntos en un plano formado por una circunferencia y su interior es un conjunto convexo.

V  La definición de conjunto convexo determina que cualquier segmento trazado en el interior de un plano se determina como tal, sea cerrado o no. En este caso la circunferencia es una línea poligonal cerrada.

b.    El conjunto formado por los puntos que se encuentran entre dos líneas rectas incluyendo las rectas es un conjunto convexo.

F  Solo las líneas se determinan como conjuntos convexos, para que los puntos entre estas sean parte del conjunto, deben estar cerrados por lo menos con otra que las interseque formando un triángulo.

c.    Cualquier plano en el espacio E es un conjunto Convexo.

 F  Todos los conjuntos convexos están delimitados por la línea poligonal y esta es finita, los planos en el espacio E no tienen límites.

d.    La siguiente figura nos muestra un polígono que junto con su interior forman un conjunto convexo.





V  Es un polígono porque es un conjunto cerrado de segmentos y los puntos en su interior también son parte del mismo.

e.    La unión de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo.

F  La definición de convexidad marca que dados dos puntos (x,y) la recta trazada debe estar contenida en ambos, por lo que no todas las figuras convexas unidas lo forman. La unión de dos conjuntos se puede dará aún cuando no haya elementos y en este caso puntos en común.
f.     Si tenemos dos circunferencias que tienen a una recta tangente en común, entonces podemos trazar un segmento de recta que una a los centros de ambas circunferencias y sea perpendicular a la tangente.

V Siempre y cuando la recta secante toque a ambas circunferencias en el único punto en común entre estas, entonces la línea perpendicular  deberá contener los dos centros de las circunferencias sino también el punto en común.

g.    Un polígono de cuatro lados correspondiente a un paralelogramo con un ángulo interior recto, tiene en la suma de sus cuatro ángulos interiores un total de 270º

.F  Si dicha figura geométrica es un paralelogramo entonces tiene sus lados opuestos paralelos. Si uno de sus ángulos interiores es recto, entonces involucra dos de sus lados y por lo tanto los otros dos como son paralelos forman también un angulo recto. Por lo anterior sabemos que es un cuadrado o un rectángulo y sus cuatro ángulos son rectos cuya suma en total resulta 360°

h.    Todo paralelogramo suma en sus ángulos internos 180º.

 F  Todos los paralelogramos pueden dividirse en dos triángulos y por lo tanto cada uno contiene 180° en su interior, los ángulos de los paralelogramos suman 360°.

i.      Un hexágono o polígono de seis lados tiene 36 cuerdas.

 F el mayor número de cuerdas que se pueden obtener tomando como referencia los seis vértices de un hexágono es 12




4.    Realiza las siguientes demostraciones.


j.      Sea una circunferencia C en un plano P. Demostrar que la longitud del diámetro de C es 2r.

En este caso los elementos que tenemos son una circunferencia, un punto centro de la misma, su radio y su diámetro.
Se debe de demostrar que el diámetro de dicha figura es el doble de su radio.
 








Toda circunferencia tiene entre su punto central y cualquiera de sus puntos la misma distancia.
El radio de la circunferencia es la línea que está en el segmento del centro a cualquier punto de la misma. Todos los radios de una circunferencia son congruentes.
El diámetro de una circunferencia es el segmento de dos puntos distintos de la misma que pasa por su punto centro. Todos los diámetros son congruentes.
Si del centro a un punto existe una distancia, entonces del centro a dos puntos existe la misma distancia dos veces. Y por lo tanto es el doble.
QED



k.    Sea C una circunferencia en el plano P. Si un radio r toca a la circunferencia en un punto A de la circunferencia, por este punto pasa una recta tangente. Probar que la recta tangente es perpendicular al radio r.

En este caso tenemos como elementos una circunferencia, un punto en específico de la misma, una tangente en dicho punto, y el radio que es el segmento del punto central al punto especificado de la circunferencia.
Se debe demostrar que la recta tangente y el radio en un punto específico de la circunferencia son líneas perpendiculares.
 







La tangente es la recta que toca a la circunferencia en un punto específico.
Si se traza primero el radio, entonces este toca un punto de la circunferencia.
Si la tangente pasa por ese punto entonces se formará un ángulo recto en cada lado de la misma.
Si suponemos que la recta tangente no forma dicho ángulo entonces no tocará el punto A.
Si el radio se inclina de tal manera que no forme ese ángulo de 90° entonces dejará de tocar alguno de los puntos que se toman como condición.
Las líneas trazadas son entonces perpendiculares.
QED




l.      Sea la circunferencia C, el círculo interior contiene todos los puntos al interior de la circunferencia. Si O es el punto central del círculo, entonces para cualquier par de puntos A y B dentro del círculo demostrar que

Para este caso tenemos los siguientes elementos: una circunferencia, el círculo y el diámetro que ya está definido como el doble del radio (2r).
Este ejercicio consiste en demostrar que cualquier segmento contenido en el círculo es menor al diámetro.

 


Diametro                    



Por definición tenemos que la circunferencia es la línea curva que rodea la figura y su                                                                                                                                                                                                                                                                                        distancia es igual desde todos sus puntos hacia el centro.
El círculo es el conjunto de puntos que se encuentran dentro de la circunferencia.
El diámetro (2r) es la línea recta que se traza en dos puntos de la circunferencia y pasa  por el punto centro del círculo.
Por lo tanto cualquier segmento   dentro der círculo es menor a (2r) puesto que no se extiende hasta tocar alguno de los puntos de la circunferencia.
QED   
m.   Sea C una circunferencia. El diámetro D de C tiene una mediatriz. Demostrar que la recta tangente que pasa por el punto de intersección de la mediatriz y la circunferencia C es paralela a la recta que contiene al diámetro D

En este caso los elementos involucrados son: La circunferencia, el diámetro, su mediatriz, y una recta tangente. .
Se debe demostrar que el diámetro es paralelo a la tangente que toca a la circunferencia en su punto de intersección con la mediatriz del diámetro.
 







El diámetro de la circunferencia se traza y su mediatriz en el punto medio que sería el punto centro del círculo formando dos ángulos rectos por ser perpendicular.
Si se traza una recta tangente que toque la circunferencia en el punto de intersección con la mediatriz del diámetro, entonces debe ser paralela pues al sufrir alguna inclinación ya no tocaría el punto antes mencionado, por lo tanto esta tangente también es perpendicular y en consecuencia paralela con el diámetro.

n.    Sea C una circunferencia. En un punto A sobre la circunferencia pasan dos rectas, una que contiene a uno de los diámetros de C y otra recta que es secante a C. Si por este punto A pasa una recta tangente, demostrar que los ángulos formados por la recta del diámetro, la secante y la tangente son complementarios.

Para la demostración de este caso tenemos la circunferencia, un punto de referencia, una recta secante, una tangente y el diámetro.
Se pretende demostrar que las tres rectas tengan en común un punto de la circunferencia y formen dos ángulos complementarios.
 







Se ha demostrado en los ejercicios anteriores que si una secante toca a la circunferencia en el punto de otra recta interna a la misma que pase por el centro, entonces serán líneas perpendiculares y por tanto formarán un ángulo de 90°
Este caso contiene las dos rectas mencionadas para la formación del ángulo recto, si en el vértice del mismo pasa una recta secante a la circunferencia sin importar cual sea el otro punto de corte y por consiguiente el ángulo con alguna de las dos rectas ya mencionadas, entonces se formarán dos ángulos internos al de las perpendiculares a los cuales llamamos complementarios.
QED

o.    Sea C una circunferencia. Si una recta secante es paralela a una recta que contiene al diámetro D. Demostrar que la mediatriz de D es mediatriz también de la cuerda contenida en la recta secante.

Para este caso tenemos la participación de una circunferencia, su diámetro, la mediatriz del diámetro una recta secante y la cuerda de la circunferencia con los puntos en común de la secante.
El ejercicio consiste en demostrar que la mediatriz del diámetro es también mediatriz de la cuerda.







Si trazamos uno de los diámetros de la circunferencia y una secante paralela al diámetro, obtendremos los puntos de referencia para una cuerda en el segmento de la misma secante.
El diámetro y la cuerda también serán paralelos y la segunda será de menor longitud, ambos estarán en dos puntos de la circunferencia.
Si trazamos la mediatriz del diámetro hacia el lado donde se encuentra la cuerda, la intersecará también en su punto medio y por lo tanto también será su mediatriz.

QED

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